Kosky, der von 2012 an als Intendant und Chefregisseur die Komische Oper Berlin leiten soll, hat auch für Theater und Oper gearbeitet und Festivals organisiert. Für eine sechsstündige Bühnenfassung von Ovids "Metamorphosen", bei der Kosky Autor, Regisseur, Musikchef und Pianist war, wurde er 2006 mit dem renommierten Theaterpreis der Stadt Sydney ausgezeichnet. 2005 hatte er einen umstrittenen "Lohengrin" an der Wiener Staatsoper inszeniert. Das Wiener Schauspielhaus hatte er Ende 2005 noch vor Ablauf seines Vertrages verlassen.
In seiner Heimat machte sich Kosky, den oft ein Dreitagebart ziert und der gerne in Turnschuhen und weiten Hosen auftritt, vor allem als Erneurer des Theaters einen Namen. Dazu verhalfen Inszenierungen unter anderem von Senecas "Oedipus" und O'Neills "Mourning becomes Electra" oder den Opern "Nabucco", "Der Fliegende Holländer" und "Wozzeck" in Sydney. Von 1990 bis 1997 war er künstlerischer Leiter der jüdischen Gilgul Theater Company, 1996 übernahm er die Leitung des Adelaide Festivals, des größten Festivals der südlichen Hemisphäre und zugleich - nach Edinburgh - weltweit größten Multi Arts Festival.
Sein europäisches Debüt gab Kosky 2003 an der Komischen Oper Berlin mit einer hochgelobten Inszenierung von Ligetis "Le Grand Macabre". International gefeiert wurde auch eine Produktion von Claudio Monteverdis "Orfeo" mit Rene Jacobs bei den Innsbrucker Festwochen, die danach an der Berliner Staatsoper gezeigt wurde. Im kommenden Jahr beginnt Kosky mit seiner Inszenierung von Richard Wagners "Ring des Nibelungen" in Hannover.